Η Μαγεία των Αριθμών και η Χρήση τους στις Επιστήμες και στην Καθημερινότητα.

Του συνάδελφου καθηγητή μουσικής στο Γυμνάσιο Κρανιδίου Θανάση Θεοδωρόπουλου

Κάθε άνθρωπος στον πλανήτη προέρχεται από δύο γονείς. Καθένας εκ των γονέων προέρχεται από δύο δικούς του γονείς - τους τέσσερεις παππούδες. Με την ίδια λογική, γυρίζοντας πίσω στον χρόνο, έχουμε οκτώπροπαππούδες, δεκαέξι προ - προπαππούδες κ.ο.κ. Αν θέλαμε να βρούμε το πλήθος των προγόνων που έχουμε από μια συγκεκριμένη γενιά, το σίγουρο είναι ότι ο αριθμός είναι κάποια δύναμη του 2. Αντί να λέμε την συλλαβή "προ" αμέτρητες φορές, μπορούμε να σκεφτούμε πιο πρακτικά: Έστω π.χ. ότι θέλουμε να υπολογίσουμε πόσους προγόνους έχουμε αν γυρίσουμε 43 γενιές πριν την δική μας. Το αποτέλεσμα είναι 2 υψωμένο στην 43η δύναμη - που ισούται με8.796.093.022.208 προγόνους!!! Αν δε, υποθέταμε ότι ο άνθρωπος είναι αθάνατος, όλοι αυτοί οι άνθρωποι (και πόσοι άλλοι ακόμα) δεν θα χωρούσαν ούτε στον πλανήτη Δία, πόσο μάλλον στην "μικρή, ταπεινή και ασήμαντη" Γη! Συμπέρασμα: Οι δυνάμεις του 2 είναι πολύ χρήσιμες στην Ανθρωπολογία και στην Βιολογία.

Σημείωση: Οι άνθρωποι που προέρχονται από... αιμομιξία αποτελούν εξαίρεση καθώς η σειρά των προγόνων τους δεν ακολουθεί τις δυνάμεις του 2. Λ.χ. κάποιος του οποίου οι γονείς είναι πρώτα ξαδέλφια μεταξύ τους, έχει... δύογονείς, τέσσερεις παππούδες, έξι (!) προ-παππούδες (αντί για οκτώ), δώδεκαπρο - προπαππούδες (αντί για δεκαέξι) κ.ο.κ. Λογικό, αφού δύο εκ των τεσσάρων παππούδων είναι αδέλφια μεταξύ τους οπότε έχουν τους ίδιους γονείς! Γι' αυτό και η παραβίαση της φύσης ουσιαστικά αποτελεί διακοπή της ροής τωνδυνάμεων του 2.

Είναι πολύ εύκολο να ξεχωρίσουμε τους αριθμούς που διαιρούνται με το 2. Είναι όλοι οι άρτιοι (ζυγοί), των οποίων το τελευταίο ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6 ή 8.

Όσον αφορά τις δυνάμεις του 3, εκεί συμβαίνει το εξής: Αρχίζοντας από το 3 και πολλαπλασιάζοντας κάθε φορά επί 3, έχουμε τους αριθμούς: 9, 27, 81, 243,729, 2.187, 6.561, 19.683, 59.049, 177.147, 531.441, κ.ο.κ. Αν προσέξετε, το τελευταίο ψηφίο των αριθμών είναι πάντοτε (κατά σειρά): 3, 9, 7, 1. Ο αριθμός 3  υψωμένος σε εκθέτη διαιρούμενο με το 4  (π.χ. 3^4, 3^8,3^12, 3^16 κλπ.) δίνει πάντοτε αριθμό που λήγει σε 1 !!!

Τα πολλαπλάσια του 3 είναι πάντοτε αριθμοί των οποίων το άθροισμα των ψηφίων είναι 3, 6 ή 9. Αν το άθροισμα των ψηφίων είναι αριθμός μη μονοψήφιος, γίνεται πάλι πρόσθεση των ψηφίων μέχρι να προκύψει μονοψήφιο άθροισμα. Αν αυτό είναι 3, 6 ή 9, ο αριθμός διαιρείται με το 3. Ομοίως, αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού είναι 9 (μόνο 9 όμως!), τότε ο αριθμός διαιρείται με το 9. Π.χ. ο αριθμός 22.876.878.548.403 διαιρείται με το 9 διότι προσθέτοντας τα ψηφία του έχουμε αποτέλεσμα 72, προσθέτουμε 7 + 2 και έχουμε άθροισμα 9.

Αριθμοί που διαιρούνται με το 4 είναι όλοι όσων τα δύο τελευταία ψηφία είναιπολλαπλάσιο του 4: Ουσιαστικά είναι όλοι οι αριθμοί που λήγουν σε 00, 04, 08,12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80,84, 88, 92 και 96. Όλες οι δίσεκτες  χρονολογίες είναι πολλαπλάσια του 4: π.χ.2000, 1984, 1972, 1868 κ.α. Η πρώτη σύγχρονη Ολυμπιάδα έγινε το 1896, έτος επίσης δίσεκτο!

Οι δυνάμεις του 5 (εκτός βέβαια από την πρώτη και την μηδενική δύναμη που ισούται με 1) είναι πάντα αριθμοί που λήγουν σε 25. Όλα τα πολλαπλάσια του 5είναι αριθμοί που λήγουν σε 0 ή σε 5. Ομοίως, τα πολλαπλάσια του 25 (5 υψωμένο στο τετράγωνο) είναι αριθμοί των οποίων τα δύο τελευταία ψηφία είναι00, 25, 50 και 75. Και τα πολλαπλάσια του 125 (5 υψωμένο στον κύβο) είναι αριθμοί των οποίων τα τρία  τελευταία ψηφία είναι 000, 125, 250, 375, 500,625, 750 και 875.

Οι δυνάμεις του 6 είναι πάντα αριθμοί που λήγουν σε... 6! Πολλαπλάσια του 6 είναι όλα τα πολλαπλάσια του 3 που όμως είναι ταυτόχρονα και άρτιοι αριθμοί!

Με τον αριθμό 7 συμβαίνουν τα εξής: Διαιρώντας τους αριθμούς 1 έως 6 με το 7παίρνουμε (σε περιοδική μορφή) τους παρακάτω δεκαδικούς:

1/7 = 0,142857

2/7 = 0,285714

3/7 = 0,428571

4/7 = 0,571428

5/7 = 0,714285

6/7 = 0,857142

Η ακολουθία των έξι τελευταίων ψηφίων επαναλαμβάνεται επ' άπειρον. Αν προσέξετε, η ακολουθία είναι πάντοτε 1, 4, 2, 8, 5, 7 - με διαφορετική σειρά κάθε φορά. Πάντα όμως η διαδοχή των αριθμών είναι η ίδια!

Όσον αφορά τις δυνάμεις του 10, είναι πολύ απλά τα πράγματα: Ο αριθμός 1 ακολουθούμενος από ένα πλήθος μηδενικών, είναι η δύναμη του 10 υψωμένη στην δύναμη που ισοδυναμεί με το πλήθος των μηδενικών! Π.χ. ο αριθμός10.000.000.000 είναι το 10 υψωμένο στην 10η δύναμη κ.ο.κ. Οι δυνάμεις του 10 χρησιμοποιούνται κυρίως στην Αστρονομία προκειμένου να οριστούν οι τεράστιες  και ασύλληπτες αποστάσεις μεταξύ των άστρων του Σύμπαντος. Τέλος, τα πολλαπλάσια του 10 είναι όλοι οι αριθμοί που το τελευταίο ψηφίο τους είναι το 0.

Και αν όλα τα παραπάνω φαντάζουν εντυπωσιακά, αυτά που θα ακολουθήσουν είναι ακόμα πιο εντυπωσιακά! Μπορείτε π.χ. να βρείτε το τετράγωνο ενός αριθμού που τελειώνει σε 5 με ταχύτητα - αστραπή, χωρίς να χρησιμοποιήσετε χαρτί και μολύβι (ή calculator φυσικά!) ως εξής: Γράφετε τους δύο αριθμούς (ουσιαστικά τον ίδιο αριθμό), τον έναν κάτω από τον άλλον. Το γινόμενο θα είναι σίγουρα αριθμός που λήγει σε 25. Τα υπόλοιπα ψηφία θα είναι...ο αριθμός των δεκάδων  πολλαπλασιασμένος επί τον αριθμό των δεκάδων συν 1. Π.χ. αν θέλουμε να βρούμε το τετράγωνο του 85 έχουμε: 25 στα δύο τελευταία ψηφία και, 8 x (8+1) = 72 στα προηγούμενα. Άρα είναι 7.225! Για μεγαλύτερους αριθμούς (π.χ. το 175), βοηθάει σημαντικά το να θυμόμαστε απ' έξω πολλαπλασιασμούς ή να μπορούμε να τους εκτελούμε γρήγορα. Π.χ. 175 x 175 = ένας αριθμός που λήγει σε 25 και τα προηγούμενα ψηφία είναι τα εξής: 17 x (17+1) = 306. Άρα έχουμε 30.625!

Επίσης εντυπωσιακό είναι το εξής: Όλοι ανεξαιρέτως οι "καρκινικοί" αριθμοί (αριθμοί που διαβάζονται το ίδιο από αριστερά προς δεξιά και δεξιά προς αριστερά, π.χ. 123.321) με ζυγό αριθμό ψηφίων, είναι πολλαπλάσια του 11 !!! Επίσης, ένα οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του 11, αν το αντιστρέψουμε, παίρνουμε έναν αριθμό, πάλι πολλαπλάσιο του 11 !!! Συνεπώς, αν είχαμε έναν αριθμό παικτών, καρκινικό με ζυγό αριθμό ψηφίων και θέλαμε να τους χωρίσουμε σε... ποδοσφαιρικές ομάδες, κανένας δεν θα έμενε παραπονεμένος!

Τέλος, στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, γνωστός και σταθερός είναι ο λόγος τηςπεριφέρειας του κύκλου προς την διάμετρο αυτού. Ισούται με κάτι περισσότερο από 3. Για την ακρίβεια είναι 3,141592653... κλπ. (τα ψηφία είναι άπειρα αλλά χωρίς περιοδικότητα) και συμβολίζεται με το γράμμα "π". Αν θέλει κάποιος να υπολογίσει με σχολαστική ακρίβεια τον αριθμό "π" μπορεί να θυμάται την φράση που επινόησε ο Ν. Χατζηδάκης, καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών: "Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι". Το άθροισμα των γραμμάτων κάθε λέξης είναι... ο αριθμός: 3,1415926535897932384626...!!! Βέβαια, στα Μαθηματικά του σχολείου, ουδέποτε μας ζήτησαν να θυμόμαστε απ' έξω τόσα ψηφία, εμείς γνωρίσαμε το γνωστό τοις πάσι 3,14 !!!